Cookies помогают нам улучшить наш веб-сайт и подбирать информацию, подходящую конкретно вам.
Используя этот веб-сайт, вы соглашаетесь с тем, что мы используем coockies. Если вы не согласны - покиньте этот веб-сайт

Подробнее о cookies можно прочитать здесь

 

Санкт-Петербург: +7 (812) 235 15 86, nestor_historia@list.ru
Москва: +7 (499) 755 96 25, nestor_history_moscow@bk.ru
 

Арт: 1094

Нет в наличии

0 р.

Элементарный курс функционального анализа.

Автор
Андреев А.С.
Количество страниц
232
Дата публикации
19.05.2015

Андреев А.С.
Элементарный курс функционального анализа. — СПб., 2015. — 232 с.


Основное назначение книги — быть пособием для учащихся высших технических учебных заведений специальностей «Автоматизированные системы управления», «Математическое обеспечение систем управления», «Информационная безопасность» и родственных им. В зависимости от степени использования материал книги соответствует курсу объемом 50–100 учебных часов.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 2. Множества в m-мерном евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 3. Мера Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 4. Измеримые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§ 5. Интеграл Лебега от ограниченной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 6. Интеграл Римана и интеграл Лебега. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
§ 7. Основные свойства интеграла Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 8. Суммируемые неотрицательные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
§ 9. Суммируемые знакопеременные функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 10. Суммируемые комплекснозначные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 11. В существенном ограниченные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ 12. Неравенство Гельдера. Неравенство Минковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ГЛАВА II. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 13. Аксиомы метрического пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
§ 14. Примеры метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 15. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 16. Фундаментальные последовательности. Аксиомы полноты.
Полные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§ 17. Всюду плотные множества в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 18. Сепарабельные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 19. Сжатые отображения в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§ 20. Компактные множества в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 21. Компактные множества непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§ 22. Осреднение функций. Компактные множества функций в пространстве Lр . . . . . 80
ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 23. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§ 24. Норма элемента. Линейное нормированное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
§ 25. Сходимость в линейном нормированном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


§ 26. Эквивалентные нормы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§ 27. Линеалы и подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 28. Линейные функционалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§ 29. Сопряженное пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ГЛАВА IV. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 30. Скалярное произведение. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 31. Неравенство Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§ 32. Ортогональные элементы. Теорема о проекциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 33. Ортонормированные системы элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
§ 34. Замкнутость и полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 35. Процесс ортогонализации. Ортонормированные базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§ 36. Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§ 37. Линейные функционалы в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 38. Билинейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§ 39. Слабая сходимость в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . . . 135
§ 40. Понятие линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 41. Ограниченные операторы. Непрерывные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§ 42. Расширение ограниченного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 43. Алгебра ограниченных операторов. Пространство
ограниченных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
§ 44. Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 45. Операторное уравнение с малым параметром. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 46. Билинейная форма оператора. Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
§ 47. Свойства операции сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 48. Инвариантные и приводящие подпространства оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
§ 49. Резольвента оператора. Спектр оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§ 50. Классификация точек спектра оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 51. Компактные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 52. Альтернатива Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
§ 53. Спектр компактного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 54. Конечномерные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 55. Самосопряженные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
§ 56. Спектр самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 57. Операторы ортогонального проектирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§ 58. Спектральное представление компактного самосопряженного оператора . . . . . . 184
§ 59. Унитарные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§ 60. Спектр унитарного оператора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191


ГЛАВА VI. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 61. Интегральные операторы. Условие ограниченности
интегрального оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 62. Оператор, сопряженный к интегральному. Произведение
интегральных операторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 63. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ 64. Спектр Фурье-преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
§ 65. Интегральные уравнения Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
§ 66. Компактные интегральные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
§ 67. Интегральные операторы с полярным ядром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 68. Интегральные операторы Вольтерра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
§ 69. Интегральные операторы Гильберта–Шмидта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§ 70. Самосопряженные интегральные операторы Гильберта–Шмидта . . . . . . . . . . . . . 218
§ 71. Интегральный оператор задачи Штурма–Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222